${\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{y}}^2=3$ বক্ররেখার (1,-1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

কোনো বক্ররেখার \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য প্রথমে বক্ররেখাটিকে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (implicit differentiation) করে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করতে হয়। এই \( \frac{dy}{dx} \) এর মানই হলো স্পর্শকের ঢাল \( m \)। এরপর \( y - y_1 = m(x - x_1) \) সূত্র ব্যবহার করে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করা হয়।

প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ হলো:

\( x^2 + 2y^2 = 3 \)

উভয় পক্ষকে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:

\( \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2y^2) = \frac{d}{dx}(3) \)

\( 2x + 2 \cdot 2y \frac{dy}{dx} = 0 \)

\( 2x + 4y \frac{dy}{dx} = 0 \)

এখন, \( \frac{dy}{dx} \) এর মান নির্ণয় করি:

\( 4y \frac{dy}{dx} = -2x \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{4y} \)

\( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y} \)

বক্ররেখার (1, -1) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( m \) হবে:

\( m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, -1)} = -\frac{1}{2(-1)} \)

\( m = -\frac{1}{-2} \)

\( m = \frac{1}{2} \)

এখন, (1, -1) বিন্দুতে \( \frac{1}{2} \) ঢালবিশিষ্ট স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করি। স্পর্শকের সমীকরণ হলো \( y - y_1 = m(x - x_1) \):

\( y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 1) \)

\( y + 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \)

সমীকরণটিকে সরল করি:

\( 2(y + 1) = x - 1 \)

\( 2y + 2 = x - 1 \)

সব পদকে একপাশে নিয়ে আসি:

\( x - 2y - 1 - 2 = 0 \)

\( x - 2y - 3 = 0 \)

সুতরাং, বক্ররেখার (1, -1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ হলো \( x - 2y - 3 = 0 \)।